Questão da Uespi 2007 - vamos tentar resolver?

Ao se dividir 225 pelo natural n, o resto obtido e 15. quantos são os valores possiveis para n?

a) 9 b)10 c)7 d)8 e)12

Bom pessoal vamos por partes:

É só fazer o seguinte:

225 = 210 + 15 , então como deixa resto 15, temos que trabalhar com o número 210.


agora é só calcular todos os divisores de 210

É só você fatorar 210 que é igual a 2.3.5.7, e depois fazer a multiplicação entre eles, exemplo


Já sabemos que 2, 3, 5, 7 são divisores
mas 6 também é pois 2.3 = 6
e 30 também é pois 2.3.5 = 30
e 35 = 5.7
42 = 2.3.7
105 = 3.5.7
210 = 2.3.5.7, e por ai vai, você deve fazer todas as combinações possíveis.

que são: {2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210}

Mas para que haja resto 15, devemos pegar somente os divisores maiores que 15.

Ou seja, os valores possíveis para n é {21, 30, 35, 42, 70, 105, 210}

o que nos leva imediatamente a letra C, então você percebe que não é tão complicada essa questão, basta saber um pouco de aritmética. Vlw!

Grandes matemáticos

Voçê sabe que com o passar dos tempos tivemos muitos matemáticos intelectuais que se destacaram, vamos ver se você conhece algum deles? preste atenção e inclua seu comentário com a sua resposta dizendo o nome de pelo menos 3 deles. vizualize então:

Quem é esse?

e esse?

e esse?

e mais esse?

vamos lá me diga

esse é o da fórmula do delta

e esse mesmo quem é?

ah esse aqui começou a contar bem cedo!!!

???

e esse cabeludo??

hum?

ah já sei...

esse é louco^^


vamo lá pessoal só tem louco nessas fotos, digam quem são eles, mostre que vocês são bons em Matemática.

você sabe achar o último algarismo? vamos tentar?

bom pessoal vamos entender os axemplos abaixo:

1) Qual o último algarismo de 3²⁰⁰⁰ ?

Solução:

Observe que 3²⁰⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰⁰ = 9¹⁰⁰⁰

Ocorre que toda potência inteira de 9 termina em 1, se o expoente for par, ou em 9 se o expoente for ímpar.

Exemplos:
9⁰ = 1, 9¹ = 9 , 9² = 81 , 9³ = 729 , 9⁴ = 6561 , ... , e assim sucessivamente.
Logo, como 3²⁰⁰⁰ = 9¹⁰⁰⁰ , sendo 1000 um número par, concluímos que o último algarismo de 3²⁰⁰⁰ , ou seja, o seu algarismo das unidades é igual a 1.

2) Qual o último algarismo de 3²⁰⁰³ ?

Solução:

Observe que 3²⁰⁰³ = 3²⁰⁰² . 3 = (3²)¹⁰⁰¹ . 3 = 9¹⁰⁰¹ . 3
Já sabemos do exercício 1 que 9¹⁰⁰¹ termina em 9, pois 1001 é ímpar. Logo, ao multiplicar um número terminado em 9 por 3, é evidente que o último algarismo será 7, pois 3x9 = 27. Logo, o último algarismo de 3²⁰⁰³ é igual a 7.

3) Qual o último algarismo de 4.3²⁰⁰² ?

Solução:

Observe que 4.3²⁰⁰² = 4.(3²)¹⁰⁰¹ = 4.9¹⁰⁰¹
Como 9¹⁰⁰¹ termina em 9 porque 1001 é ímpar (veja o exercício 1 acima), ao multiplica-lo por 4, resultará em um número terminado em 6, pois 4x9 = 36. Logo, o último algarismo de 4.3²⁰⁰² é igual a 6.

4) Qual o último algarismo de 7.3⁴⁰⁰⁰⁰ ?

Solução:

Observe que 7.3⁴⁰⁰⁰⁰ = 7.(3²)²⁰⁰⁰⁰ = 7.9²⁰⁰⁰⁰
Como 9²⁰⁰⁰⁰ termina em 1 porque 20000 é par, é óbvio que ao multiplica-lo por 7, resultará num número terminado em 7, pois 7x1 = 7. Logo, o último algarismo de 7.3⁴⁰⁰⁰⁰ é igual a 7.

5) Qual o último algarismo de 2²⁰⁰⁰ ?

Solução:

Observe que 2²⁰⁰⁰ = (2²)¹⁰⁰⁰ = 4¹⁰⁰⁰

Ocorre que toda potência inteira de 4 termina em 4 se o expoente for ímpar ou em 6 se o expoente for par, para expoentes inteiros maiores do que 1. Veja os exemplos a seguir:
4² = 16 , 4³ = 64 , 4⁴ = 256 , 4⁵ = 1024 , ... , e assim sucessivamente.
Portanto, como 2²⁰⁰⁰ = 4¹⁰⁰⁰ e 1000 é par, concluímos que o último algarismo de 2²⁰⁰⁰ é igual a 6.

6) Qual o último algarismo de 2²⁰⁰³ ?

Solução:

Observe que 2²⁰⁰³ = 2.2²⁰⁰² = 2.(2²)¹⁰⁰¹ = 2.4¹⁰⁰¹
Como 4¹⁰⁰¹ termina em 4, pois 1001 é ímpar, concluímos que 2²⁰⁰³ = 2.4¹⁰⁰¹ termina em 8, pois 2x4 = 8. Logo, 2²⁰⁰³ tem 8 como seu último algarismo, ou seja, termina em 8.

7) Qual o último algarismo de 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰³ ?

Solução:

Observe que 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰³ = 2²⁰⁰⁰ (1 + 2³) = 9.2²⁰⁰⁰ = 9.(2²)¹⁰⁰⁰ = 9.4¹⁰⁰⁰
Como 4¹⁰⁰⁰ termina em 6 pois o expoente 1000 é par (veja exercício 5), concluímos que 9.4¹⁰⁰⁰ = 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰³ irá terminar em 4 pois 9x6 = 54.

8) Qual o último algarismo de 3¹⁹⁹⁸ + 3²⁰⁰⁰ ?

Solução:

Observe que:
3¹⁹⁹⁸ + 3²⁰⁰⁰ = 3¹⁹⁹⁸(1+3²) = 3¹⁹⁹⁸.10 = (3²)⁹⁹⁹.10 =10.9⁹⁹⁹

Logo 3¹⁹⁹⁸ + 3²⁰⁰⁰ vai terminar em 0, pois todo número inteiro multiplicado por 10 termina em zero.

Agora resolva estes:

a) Qual o algarismo das unidades de 2²⁰⁰⁴ ?
Resposta: 6

b) Qual o último algarismo de 5^1000000 ?
Resposta: 5

c) Qual o algarismo das unidades de 2¹⁹⁹⁸ + 3²⁰⁰⁰
Resposta: 5

esse tipo de questão é muito comum em olimpíadas de matemática!

Números primo e composto

2 – Número primo e número composto

Dizemos que um número natural p diferente de um ( p ¹ 1) é primo quando ele só possui dois divisores: ele próprio e a unidade. Caso contrário, o número é composto.

Assim, se o conjunto dos divisores naturais de p, representado por D(p), for igual a
D(p) = {1, p}, p é um número primo.
Ora, os divisores de 2, são apenas a unidade (1) e ele mesmo (2). Logo, 2 é um número primo. Portanto, 2 é o único número natural primo que é par.
Sendo à o conjunto dos números primos, poderemos escrever:
à = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... , }
O conjunto dos números primos é infinito.

Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos. Isto é conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética – TFA.

Exemplos:

12 = 3.2.2
15 = 3.5
49 = 7.7
105 = 7.5.3
240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.2⁴.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:

Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2
120 |2
60 |2
30 |2
15 |3
5|5
1|

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5

A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.

Teremos:

408 |2
204 |2
102 |2
51 |3
17 |17
1 |

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 2³.3.17

produtos notáveis

Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.

1 – Quadrado da soma e da diferença
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido que:
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²) ou escrevendo de uma forma conveniente:

2 – Diferença de quadrados
(a + b).(a – b) = a² – b²

3 – Cubo de uma soma e de uma diferença
(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³

Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo:
(a – b)³ = a³ – 3.a².b + 3.a.b² – b³

Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como segue:

(a + b)³ = a³ + 3.a.b(a+b) + b³

Ou:

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

Esta forma de apresentação, é bastante útil.

Exemplos:

1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?

SOLUÇÃO:

Temos: a + b = 10 e a³ + b³ = 100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:
10³ = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab
Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada.

Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais e sim, números complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício!
Alerto para o fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá, faça! É um bom treinamento sobre as operações com números complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importância de saber a fórmula acima. Sem ela, a solução DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa!

(matematica no cotidiano) - Quantos divisores?

Bom pessoal, é importante que nós saibamos determinar o número de divisores de um número qualquer de uma maneira prática e rápida, sem precisar fazer aquele processo cansativo e demorado. Então vamos para frente e entender esse processo:




Dado um número natural n cuja forma fatorada é n = 2 ^x . 3 ^y . 5 ^z . ... ,
o número de divisores positivos de n será igual ao produto (x + 1).(y + 1) . (z + 1) . ...

Exemplos:
a) 12 = 2 ² . 3 ¹ \ número de divisores positivos de 12 = (2+1).(1+1) = 6
b) 150 = 2 ¹ . 3 ¹ . 5 ² \ número de divisores positivos de 150 = (1+1).(1+1).(2+1) = 12

3 – Qual o número de divisores positivos de 1.000.000 ?

1.000.000 = 10 ⁶ = (2 . 5) ⁶ = 2 ⁶ . 5 ⁶ . Logo, teremos:
Número de divisores positivos de 1000000 = (6+1).(6+1) = 49
Portanto, 1.000.000 possui 49 divisores positivos.

4 – Qual o número de divisores de 5.000.000 ?

5.000.000 = 5 . 10 ⁶ = 5 . (2 . 5) ⁶ = 5 . 2 ⁶ . 5 ⁶ = 2 ⁶ . 5 ⁷
Portanto, o número de divisores positivos de 5.000.000 será igual a: n = (6+1) . (7+1) = 7 . 8 = 56
Portanto, 5.000.000 possui 56 divisores positivos.

5 - Qual o número de divisores positivos de 100.000.000 ?

100.000.000 = 10 ⁸ = (2 . 5) ⁸ = 2 ⁸ . 5 ⁸
Portanto, o número de divisores positivos de 100.000.000 será igual a:
n = (8+1) . (8+1) = 9.9 = 81
Portanto, 100.000.000 possui 81 divisores positivos.

Agora resolva este:

Qual o número de divisores positivos de 7.200.000 ?
Resposta: 162 divisores positivos.


pratiquem com mais números!!!!